На 12-м году жизни дети в какой-то степени еще находятся под влиянием привычных авторитетов, однако одновременно с этим начинает развиваться сильнейшее стремление к самостоятельному формированию суждений, позволяющее позже приходить к рассудочному интеллектуальному пониманию. Очень важно правильно использовать новые способности, пока еще не опираясь чрезмерно на самостоятельные суждения, так как мы можем разрушить душевно-духовные силы ребенка, способность сопереживания чужому мнению. «…На двенадцатом году жизни ребенок продвигается к основанному на суждении пониманию таким образом, что оно все еще сливается с другим, своеобразным инстинктивным пониманием — даже если оно уже переполнено силой суждения. Здесь мы встречаемся с сумеречными инстинктами души, которые должны быть преодолены силой суждения.
Мы должны принимать в расчет то, что на этой ступени развития у человека появляется инстинкт к вычислению процентных ставок (интереса, прибыли), к тому, что может быть приобретено как прибыль, к подсчету скидок и так далее. Это то, что проистекает из инстинктов; но мы должны позволить силе суждения быть намного сильнее инстинктов, то есть в это время мы должны иметь дело с тем, что стоит между элементами вычисления, товарооборотом, владением собственностью и достатком, другими словами — с процентом от вычисления прибыли (интереса), вычислением скидок и другими подобными вопросами…» (Р.Штайнер. «Практические советы учителям», лекция 14. Штутгарт, 1919)
Математика в 6 классе очень связана с экономическими процессами, социальными процессами в обществе. Дети к шестому классу уже владеют всеми действиями с обыкновенными и десятичными дробями (хотя, опыт говорит, что эти действия всегда нужно повторять и упражнять), работают с большими числами, умеют вычислять Наибольший общий делитель (НОД) и Наименьшее общее кратное (НОК), а также решают различные задачи. Так как особенно действия с десятичными дробями нам понадобятся для дальнейшего продвижения, стоит уделить повторению и упражнению этой темы достаточно много времени, подчистив слабые места. Всегда находятся дети, которые все еще путаются в вычислениях, особенно при умножении и делении десятичных чисел. Особое внимание необходимо уделить связи обыкновенных и десятичных дробей.
Уже изучив в пятом классе преобразование обычных дробей в десятичные, мы теперь направляем свое внимание на обратный процесс, то есть на преобразование десятичного числа в обыкновенную дробь. Это очень простой процесс.
Возьмем десятичную дробь, например 0,60, запишем цифры после запятой как числитель: 60 и запишем 1 как знаменатель. Тогда для каждой цифры числителя мы пишем 0 рядом с 1 на линии знаменателя, таким образом:
60/100
Следующий шаг — сокращение дроби:
60/20 =3
100/20=5
60 / 100 = 3 /5
Проделав обратную операцию, мы приходим к следующему:
3 * 20 = 60
5 * 20 =100
3/5= 60/100
Обращаясь к нашей прошлогодней работе по преобразованию обыкновенной дроби в десятичную, мы видим, что 60 /100 преобразуется в 0.60 (или в 0.6 , так как «ноль» на конце не несет никакой ценности).
Сейчас мы готовы к изучению темы «Проценты»!
Ученики знакомятся с латинским словом «cent» («сто») не только в связи с его использованием в качестве наименования валюты (сотой части денежной единицы), но также и в связи с употребляемыми словами и понятиями типа сотник, сантиметр, столетие, центурион, и т.д. Переход от 60/100 к 60 % можно объяснить следующим образом.
Процент означает «часть 100» или «сотая часть числа». Выражение 60/100 указывает на то, что есть 60 частей из возможного общего количества 100-а частей или 100-а процентов. Однако, 60/100 можно записать легче, если мы опустим черту дроби между 60 и 100. Сделав это, мы тогда перемещаем число «1» и размещаем его под наклоном между двумя нолями, получая 0/0. Таким образом, мы получили новую математическую запись 100: %
Теперь наше выражение 60 /100 можно записать как процент:
60 /100 =60%
Однако, не всегда так просто можно преобразовать обыкновенную дробь в проценты с помощью этого метода. Давайте рассмотрим обыкновенную дробь
4 / 16
Сначала необходимо преобразовать ее в десятичную дробь, поделив числитель на знаменатель:
4,0 0 |16
32 0,25
80
80
00
Мы уже знаем, что 0.25 — то же самое, что
25 /100
Поэтому:
25/100=0,25=25%
Проделаем обратную операцию:
25%=0,25=25/100
Наступает время заняться практикой преобразования процента в десятичную дробь и потом в простую обыкновенную дробь:
15%=0,15=15/100
23%=0,23=23/100
Если мы имеем число типа приведенного ранее 60 /100 то оно может также быть записано следующим образом, если разделить сначала и числитель, и знаменатель на 10:
60 /10 100 /10
Зная и понимая, то, что мы разделили и числитель, и знаменатель на 10, мы можем ускорить процесс простым целесообразным «уравновешиванием» одного ноля против другого ноля:
60/100=6/10
Мы можем преобразовать это в десятичную дробь тем же способом, что мы использовали раньше, то есть делением числителя на знаменатель, чтобы придти к 0.6:
6 /10
Помните, что 6/10 — это то же самое, что 60/100
Заменим следующее в %:
0.7 = 70 %
0.5 = 50 % и т.д.
Теперь обратное действие:
40 % = 0.4
90 % = 0.9
75 % = 0.75
Освоив эту ступень, ученики могут переходить к задачам на проценты и первым формулам. Допустим, необходимо найти 12% от целого числа 124. Число 124 составляет в данном случае 100%. Тогда мы выполним следующее:
124*12=1488
а затем:
1488,00| 100
100 14,88
488
400
880
800
800
800
00
Ответ: 14,88
То есть для того, чтобы найти часть от целого мы умножили это целое на процент и поделили на 100 .
Часть от целого = целое * процент / 100 (1)
эта формула может быть выведена детьми с помощью учителя. Но очень скоро дети убедятся, что можно с этим справиться без деления: 12 % ведь превращаются в 0.12.
Мы теперь умножаем 124 на 0.12:
124* 0.12 = 14.88
Ответ: 14.88
Для учеников, испытывающих сложности с делением, этот пример более доступен. Используя вышеупомянутый метод, мы обошли необходимость использования длинного деления, завершая процесс деления «в уме», преобразовывая процент в десятичную дробь.
В классе всегда найдутся дети, которые быстро начнут пользоваться формулой, и те, кто будет продолжать решать эти задачи качественно. Вторым всегда важно представлять, что именно они считают.
Позже мы также остановимся на поиске числа по данному проценту и процента:
Целое = часть от целого *100/ процент (2)
Процент = часть от целого *100/целое (3)
Но эти формулы можно также дать параллельно с темой «Отношения».
Ученикам нужно представить для решения все виды практических задач, используя любой из вышеупомянутых методов, но многие указывают на предпочтение второго метода как самого простого и самого быстрого. Это можно увидеть особенно при работе с большими числами и деньгами.
Было бы хорошо, если бы практическое решение задач было непосредственно связано с собственным опытом ребенка. Вопросы, которые являются общими для класса, — хорошая отправная точка. Например:
14% класса имеет каштановые волосы. Сколько это?
85 % едут на транспорте в школу каждый день. Сколько это?
25 % преподавателей являются мужчинами. Сколько это?
Учитель, конечно же, должен проработать эти задачи заранее, иначе могут возникнуть непредвиденные проблемы — например, количество девочек в классе окажется дробным.
Хорошо будет предоставить ученикам поработать с этими вычислениями практически, используя их самостоятельность. Например, можно поставить задачу собрать сведения в школьном секретариате (заранее предупредив секретаря) о количестве детей в школе, в каждой группе детского сада, классах, включая сведения о количестве мальчиков и девочек и т.д. Если это делается во время урока, то в секретариат можно направить учеников-посланцев, например тех, кому сложно усидеть весь урок на месте. Полученные результаты можно занести в таблицу и затем оформить в диаграмму. Приведу фрагмент возможной таблицы для построения диаграммы.
Класс Количество учеников, чел Процент от всего, % Процент от класса, %
Детский сад 30 54,55
Мальчики 10 33,33
Девочки 20 66,67
1 класс 25 45,45
Мальчики 12 48
Девочки 13 52
Всего мальчиков 22 41,82
Всего девочек 33 60
Всего 55 100
Дети проделывают вычисления процента для третьей и четвертой колонки. Нам известно целое число, часть от числа, необходимо найти процент.
1) 30*100/55=54,545455% (детский сад) 54,545455%+45,454545%=100%
2) 25*100/55=45,454545% (1 класс)
3) 22*100/55=40% (мальчиков)
40%+60%=100% и т.д.
4) 33*100/55=60% (девочек)
В реальных ситуациях мы сталкиваемся с не совсем удобными числами, и точность вычислений будет зависеть от правильности округления. Здесь есть хорошая возможность повторить или пройти (если раньше этого не касались) приближенные вычисления, округления и даже коснуться практически темы погрешности. Некоторые ученики, склонные к обобщению, очень быстро заметят, что можно сэкономить время на вычислении процентов, отнимая от 100% уже вычисленную часть. Такое задание можно поручить сделать по группам, разбив части таблицы по классам.
Пример диаграмм:
Очень быстро дети заметят, что диаграммы одинаковы, т.е. соотношения количества учеников и процента сравнимы. Но несут они нам разную информацию. Это можно использовать дальше в теме «Отношения и пропорции». Диаграммы могут быть очень красочные, в том числе и круговые.
Если эпоха математики не первая, то при условии, что на еженедельных уроках удалось хорошенько повторить пройденное ранее, этот материал можно дать за две недели (20 часов) и продолжить дальше темой «Отношения и пропорции» следующие 2 недели (20 часов), в которой вычисления процентов уже будут использоваться практически. В конце темы дается проверочная самостоятельная работа, так называемый тематический контроль, по которому можно также определить, на что стоит обратить внимание в дальнейших еженедельных уроках. То же самое необходимо сделать для темы «Отношения и пропорции». В конце эпохи проводится итоговая работа, которая объединяет в себе содержание эпохи, иногда в неожиданной форме объединенной практической задачи.
Следующая эпоха будет эпохой экономики, и через нее — введение в социальные взаимоотношения. Именно эта эпоха дает возможность хорошо ввести начала алгебры. Но это материал уже следующей статьи.
Я привела всего лишь несколько методических приемов, позволяющих ученикам продвинуться в области практической математики. Но как математик, хотела бы защитить позиции чистой, неприкладной математики. Нельзя забывать, что, находясь в сфере математики, сфере чисел, мы находимся в чистой сфере гармонии Вселенной и ее законов. На мой взгляд, нельзя лишать детей этого переживания. Работа с числами, с их взаимосвязями вне всяких практических задач хоть и занимает в математике 6 класса меньше места, но все же присутствует.
практичні матеріали
Математика в 6 классе
Несколько методических приемов, позволяющих ученикам продвинуться в области практической математики.